Giới thiệu sơ lược một số hàm quan trọng trong lý thuyết số giải tích ( phần 1 )

Posted: Tháng Tư 23, 2014 in Uncategorized
0

Trên đây cũng chỉ là những ghi chép cơ bản của tôi về các hàm này được trình bày lộn xộn từ cuốn sổ tay của tôi . Hy vọng mọi người đọc được nó .

Hàm Von Mangoldt , được ký hiệu là \wedge

Được định nghĩa như sau với \wedge : N |{0}\to R

+\wedge(n)=logp  nếu tồn tại số nguyên dương k mà n = p^{k} trong đó p là một số nguyên tố .

+ \wedge(n) = 0 nếu n có ít nhất hai ước nguyên tố , hay nói cách khác nó không xảy ra trường hợp đầu

Hàm Trebushev ( Summatory von Mangoldt Trebushev )

Ký hiệu : \psi và \psi : R \to R

Định nghĩa : \psi(x) = \sum _{ n\leq x} \wedge(n)

Các kết quả liên quan :

log \zeta(s) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\wedge(n)}{logn} \frac{1}{n^{s}}

Và

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\wedge(n)}{n^{s}}

Loạt Dirichle của hàm số học f(n) bất kỳ

 F(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^{s}}

Trong đó f(n) nhân tính ta sẽ thu được

 \frac{F'(s)}{F(s)} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)\wedge(n)}{n^{s}}

Công thức Perron

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-s \int_{1}^{\infty} \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}dx

Nếu đưa vào

F(y) = \sum_{n=2}^{\infty}(\wedge(n)-1) e^{-ny}

Cho y \to \infty + sau đó

F(y) = O (\sqrt{\frac{1}{y}})

Tồn tại k > 0 mà thỏa mãn

Hoặc là F(y) < \frac{-K}{\sqrt{y}}

Hoặc

F(y) > \frac{K}{\sqrt{y}}

Các Riez trung bình

\sum_{n\leq \lambda}(1-\frac{n}{\lambda})^{\delta}\wedge(n)=\frac{-1}{2i\pi }\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\Gamma (1+\delta)\Gamma(s)\zeta'(s)}{\Gamma(1+\delta+s)\zeta(s)}\lambda^{s}ds = \frac{\lambda}{1+s}+\sum_{p}\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(p)}{\Gamma(1+\delta+p)}+\sum_{n}c_{n}\lambda^{-n}

Trong đó c>1 và \lambda,\delta là các số đặc trưng nào đó sao cho chuỗi

\sum c_{n}\lambda^{-n}

Hàm Von còn có thể viết là

\wedge(n) = lim_{s \to 1} \zeta(s) \sum_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{s-1}}

 

 

 

 

Bình luận về bài viết này